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% Loesung Blatt 5
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% Loesung Aufgabe 1 Blatt 5
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% Datei b5_aufgabe1.m
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% Teil a
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clear;

A=[1 2 3; 4 5 6; 5 7 9];                               % Initialisierung der einzelnen Groessen
b=[0 0 1]';

disp(' ');
disp('Teil a');
disp(' ');
disp (' x1=A\b');                                      % Loesungsversuch via Linksdivision 
x1=A\b;                                                % Octave warnt: System singulaer
x1
disp('Residuenvektor r=A*x1-b');                       % Ergebnis ist keine Loesung, da Residuenvektor ~=0!!!
r=A*x1-b;
r
disp('Rang von A sowie Rang von [A b]');               % Das System hat keine Loesungen
[rank(A) rank([A b])]

pause;

%
% Teil b
%

b=[0 1 1]';                                           % Festlegung der neuen Groessen

disp(' ');
disp('Teil b');
disp(' ');
disp (' x1=A\b');
x1=A\b;
x1
disp('Residuenvektor r=A*x1-b');                      % Diesmal liegt eine Loesung nach Linksdivision vor!!!
r=A*x1-b;                                             % Octave warnt: Matrix hat nicht vollen Rang!!!
r
disp('Rang von A sowie Rang von [A b]');              % Das System besitzt 8'-viele Loesung
[rank(A) rank([A b])]

pause;

%
% Teil c
%

warning off;                                          % Unterdrueckt Warnungen  

A=[1 2 3; 4 5 6; 5 7 9]; b=[0 1 1]';

disp(' ');
disp ('Teil d, System b');
disp(' ');
disp('Loesung des homogenen Systems');
disp('x_hom=null(A)');
x_hom=null(A);
x_hom
disp('Partikulaere Loesung / Loesung des inhomogenen Systems');
disp('x_p=A\b');
x_p=A\b;
x_p
disp('Allgemeine Loesung');
disp('x=s*x_hom(:,1)+x_p');
disp('mit s aus den reellen Zahlen ');
disp(' ');

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% Loesung Aufgabe 2 Blatt 5
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% Datei b5_aufgabe2.m
%
% Test der Funktionen aus Aufgabe 2
% Blatt 5. 
%
% Benoetigt Dateien abstpe.m und abstgg.m!!!
%

%
% Teil a
%

p=[1 6 2];                       % Bereitstellen der Groessen
e=[1 -2 4 1];

abstpe(p,e)

pause;

%
% Teil b
%

g1=[6 1 -4;4 1 -6]';             % Bereitstellen der Groessen
g2=[4 0 3;0 -1 3]';

abstgg(g1,g2)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%
% Datei abstpe.m
%
% Funktion zur Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene
% Eingabe: (1,3)-Vektor p des Punktes, (1,4)-Vektor der Koeffizienten 
%          der Koordinatengleichung der Ebene e.
%
% Ausgabe: Skalar d = Abstand von p und e.  
%

function d=abstpe(p,e)

A=e(1:3)*p'-e(4);              % Anwendung der bekannten Formel  
B=norm(e(1:3),2);
d=abs(A/B);

end
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%
% Datei abstgg.m 
%
% Funktion d=abstgg(g1,g2) zur Berechnung des Abstands 
% zweier windschiefer Geraden im Raum.
%
% Eingabe: (3,2)-Matrix der Geraden g1, (3,2)-Matrix der Geraden g2, 
%          dabei stellt jeweils die erste Spalte den Orts- und die 
%          zweite den Richtungsvektor dar.
%
% Ausgabe: Skalar d = Abstand von g1 und g2.  
%

function d=abstgg(g1,g2)

n=cross(g1(:,2),g2(:,2));                           % Konstruktion eines zu beiden Geraden senkrechten Vektors
f=norm(n,2);
if (abs(f)<eps)
    disp=('Geraden sind parallel oder gleich!');
else
    n_0=n/f;                                        % Normierung
    d=abs((g1(:,1)-g2(:,1))'*n_0);                  % Anwendung der bekannten Formel
endif

end

%
% Ende Loesung Aufgabe 2 Blatt 5
%

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%
% Datei b5_aufgabe3.m
%
% Test der Funktionen aus Aufgabe 3
% Blatt 5. 
%
% Benoetigt Dateien abstpe.m und hoehe.m!!!
%

a=[4 0 0]; b=[4 5 1];            % Bereitstellen der Groessen
c=[0 0 1]; d=[-1 4 3];

hoehe(a,b,c,d)

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%
% Datei hoehe.m
%
% Funktion h=hoehe(a,b,c,d) zur Bestimmung der Hoehe einer 
% dreiseitigen Pyramide.
%
% Eingabe: (1.3)-Vektoren a,b,c, spannen die Grundseite auf
%          (1,3)-Vektor d = Spitze der Pyramide
%
% Ausgabe: Skalar h = Hoehe der Pyramide
%

function h=hoehe(a,b,c,d)

l=[1 1 1]';                % Hilfsvektor 
A=[a;b;c];                 % Koeffizientenmatrix zur 
x=A\l;                     % Bestimmung der Ebenengleichung,
x=x';                      % der von der Grundseite aufgespannten Ebene.
e=[x,1];                   % Koeffizienten der Ebene
h=abstpe(d,e);             % Abstand Ebene-Spitze = Hoehe h

end

%
% Ende Loesung Aufgabe 3 Blatt 5
%

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