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Projekte der Arbeitsgruppe Algebra und Zahlentheorie

Institut(e)/Einrichtung(en):

Arbeitsgruppe Algebra und Zahlentheorie

Personen:

Prof. Dr. N-P. Skoruppa und Mitarbeiter

Projektbezeichnung:

Suche nach extremalen Gittern der Ordnung 72.

Berechnung automorpher Formen, insbesondere von Modulformen halbganzen Gewichts.

Forschungsgebiet/Kontext:

Algebra und Zahlentheorie

Projektbeschreibung:

Die Arbeitsgruppe Algebra und Zahlentheorie (Prof. Dr. N-P. Skoruppa) führt seit der Installation des Clusters regelmäßig intensive Rechnungen im Bereich der Theorie der automorphen Formen und der Theorie der Gitter durch. Genauer arbeiten wir im Zusammenhang mit dem Siegener Rubens-Cluster hauptsächlich an folgenden Projekten:

Suche nach extremalen Gittern der Ordnung 72.

Es sind bisher mit Hilfe des Cluster alle 55545 unimodularen Gitter der Ordnung 72 mit Automorphismus der Ordnung 71 berechnet worden. Dies wäre ohne den Cluster nicht in akzeptabler Rechenzeit möglich gewesen. Im Rahmen eines noch andauernden Projektes sollen nun diese Gitter auf Extremalit"at untersucht werden, wozu aber noch theoretische Vorarbeiten notwendig sind.

Die Existenz einen extremalen Gitters würde womöglich auch zur Auffindung neuer hocheffizienter Codes führen, die dann erfahrungsgemäß bald praktische Anwendungen fänden. Sollte dagegen bei unserer systematischen Suche nachgewiesen werden, dass solche Gitter nicht existieren, so wäre dies zumindest ein interessantes theoretisches Ergebnis.

Berechnung automorpher Formen, insbesondere von Modulformen halbganzen Gewichts.

Automorphe Formen tauchen in fast allen Bereichen der mathematischen und physikalischen Grundlagenforschung, neuerdings sogar beim Design sicherer Verschlüsselungsalgorithmen auf (Stichwort: Kryptographie mittels abelscher Varietäten). Ihre Tabellierung ist daher in vielen Bereichen nützlich und oft auch mit neuen Entdeckungen verbunden, die dann wieder neue Forschung anstoßen. Auf dem Rubens-Cluster sollen insbesondere Modulformen halbganzen Gewichts berechnet werden; dies ist bisher noch nirgendwo geschehen. Die mittlerweile schon zwei Jahre andauernden theoretischen Vorarbeiten dazu sind in unserer Arbeitsgruppe fast zum Abschluss gebracht.

Bisher haben wir mittels des Clusters mit Erfolg Rechnungen im Bereich der Modulformen ganzen Gewichts und der Jacobiformen und Siegelschen Modulformen durchgeführt. Dadurch konnte unsere schon bestehende Sammlung komplettiert bzw. nochmals verifiziert werden.

Es ist geplant, im Zusammenhang mit dem Projekt 2 bei der DFG einen Einzelförderungsantrag zu stellen, um darüber ein bis zwei Mitarbeiterstellen für dieses Projekt, ggfs. mit Promotionsmöglichkeit, zu finanzieren. Die Ergebnisse der bisherigen und zukünftigen Berechnungen werden in einer ständig aktualisierten Webdatenbank Interessierten zugänglich gemacht - die Datenbank kann unter http://wotan.algebra.math.uni-siegen.de/~modi angesehen werden.